摘要：通过最小化算法可以将稀疏信号表示为过完备集下一组基的线性组合，但得到的解通常并不是最稀疏的，在此提出了利用最小化算法对稀疏信号进行分离，通过试验证明了此方法能够更准确的分离出源信号，同时讨论了参数的选取对试验结果的影响。

　　关键字：最小化算法;加权最小化算法;最小化算法;信号分离

　　中图分类号: TN911.72 文献标识码: A

　　Astract: Sparse signal can be described as the linear combination of the bases in over-complete atom dictionary. Usually , the solutions is not the sparsest. This paper separate the sparse signal using minimization. Examinations have demonstrated that this method can identify source signals more accurately. At the same time, we discussed the different parameters selected how to influence the result.

　　Key words: minimization; reweighted minimization; minimization; signal separation 稀疏信号分离的目标是从线性系统中找到最稀疏的解，这里为的观测矩阵，其中。由于观测的次数小于信号的维数，所以这个线性系统有很多解，在这些解里面希望能找到一个最稀疏的解，也就是这里的尽可能的包含较少的非零元素。

　　大多数情况下，我们需要恢复的目标是稀疏或是可压缩的，基于稀疏假设，从数学上讲我们可以通过解下列组合问题恢复出信号

　　subject to (1)

　　其中为向量的非零元素的个数。然而，由于(1)式的优化函数是非凸的，通常很难找到信号的稀疏解，所以上述问题是一个NP难问题，在实际中不可能实现。为解决这一难点，Chen、Donoho和Saunders[1]提出等同于解决式(1)描述的稍有差别的问题，即用最小化取代最小化：

　　subject to (2)

　　这里，不同于(1)式，(2)式优化函数是凸的，可以转换为线性规划问题进行求解[2,3]。

　　在过去的几十年，最小化的应用越来越广泛，如在地震勘探中的应用，稀疏的反射系数可以反映出底层的变化，最近它又出现在压缩感知领域中[4~6]。因此，它被称为“当代的最小二乘法”。

　　一 加权的最小化算法

　　现在我们的问题是是否能够进一步的提升最小化，使其更靠近范数，使得解更稀疏?寻找介于至之间的最小化范数一直是当前研究的主要问题。不同的最小化范数之间的区别主要依赖与幅度：对范数，大系数比小系数惩罚得更重，而对于范数，却有相同的惩罚度。针对这种不平衡，Emmanuel J. Candes[7]等人提出了加权的最小范数：

　　subject to (3)

　　这里,, …为正数权，和没有加权的最小化范数一样，(3)式也为凸优化问题，可以通过线性规划求解，从(3)式中可以看出，目标函数可以被转换为，其中为由,, …组成的对角矩阵。

　　加权的最小化算法原理主要是在迭代过程中根据上一次的分解结果重新定义权，其迭代算法如下：

　　1、设迭代次数，第一次迭代的权，其中。

　　2、解加权的最小问题subject to 。

　　3、更新权，其中。

　　4、当达到指定的迭代次数收敛到某一范围时，迭代停止。

　　第3步中的参数，它主要用来提供稳定性，确保第3步中中的零元素在下一次迭代时有意义，的选取应小于期望得到的中非零元素的绝对值。

　　二 最小化算法

　　最小化介于(1)式和(2)式之间，对于，其最小化式为：

　　subject to (4)

　　由于(4)式中的最小化问题是非凸的，因此需要一种近似的表达来替换它，Simon Foucart和Ming-Jun Lai[8]提出了取代(4)式的近似算法：

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