北师大版数学新教材必修1中增加了“二次函数性质的再研究”的内容,在教学过程中笔者发现二次函数在闭区间上的最值问题学生不易解决,因为二次函数的最值问题,首先要关注开口方向与对称轴,其次要注意所给区间上函数的单调性,如果含有参数时,还要注意对称轴与区间的位置关系,借助数形结合,进行分类讨论,所以说,二次函数的最值是高中数学的教学难点,也是高考的热点.本文根据对称轴与区间的变化情况,从以下四个方面对二次函数的最值问题进行探究:
一、定轴定区间
这种类型是二次函数的对称轴不变,区间也不变求最值的问题.
例1求函数y=3x2-12x+15的自变量在下列范围内取值时的最值:
(1)x∈[0,3];(2)x∈[-1,1].
解 函数y=3x2-12x+15=3(x-2)2+3,对称轴方程为x=2.
(1)x=2∈[0,3],∴x=2时,ymin==3,因为0离对称轴x=2比3离对称轴x=2要远,所以当x=0时,ymax==15.
(2)x=2[-1,1],则函数y=3x2-12x+15在区间[-1,1]上单调递减,∴x=1时,ymin==6,
X=-1时,ymax==30.
点评 此题要考虑与对称轴的关系,如果区间不包含对称轴,则该函数在这个区间上具有单调性,如果区间包含了对称轴,则只须求出顶点的纵坐标和距离对称轴最远的点的纵坐标.
二、定轴动区间
这种类型是二次函数的对称轴不变,区间在变化求最值的问题.
例2设函数在区间上的最小值记作,求的解析式.
解 由=知函数的对称轴为.
(1)当≤-1,即≤-2时,在上单调递减,
∴===;
(2)当-2<≤-1时,区间包含对称轴,∴;
(3)当>-1时, 在上单调递增,∴.
综上所述,
点评 此题需要讨论区间在对称轴左侧、包含对称轴、在对称轴右侧等几种情况下的最值.
三、动轴定区间
这种类型是二次函数的对称轴在变化,区间不变求最值的问题.
例3已知,求函数在区间[0,1]上的最大值.
解 的图像的对称轴为.
当时,即,,
当0≤≤时,0≤≤1,,
当<≤1时,即1<≤2,,
当>1时,即>2,,
∴
点评 此题要讨论对称轴与区间的位置关系(分左、中、右),注意分类讨论时要全而不漏,应抓住“三点”(区间的端点,及区间的中点)、“一轴”(对称轴)分四种情况讨论.当0≤≤时,则对称轴在区间中偏左;当<≤1时,则对称轴在区间中偏右.
四、动轴动区间
这种类型是二次函数的对称轴在变化,区间也在变化求最值的问题.
例4已知函数在区间[,1]上有最小值0和最大值1,求、的值.
解 抛物线y=开口向上且对称轴为,区间的中点为.
(1)当≤,即≥0,对称轴在区间的左边,即函数在上是增函数,由题意得:,解得或.
(2)当<≤,即≤<0时,对称轴在区间内且更接近,则,,由题意得:
解得(舍去),或(舍去).
(3)当<≤1,即 -2≤<时,对称轴在区间内且更接近1,则解得,∵-2≤<,得,.
(4)当>1,即<-2时, 对称轴在区间的右边,即函数在上是减函数, 由题意得:解得>-2(舍去).