定理3：设为定义在开区间上的函数，若(),下列不等式成立:

(12)

则为凹函数.

证明:令,则(12)可化为

　　整理后可得

由于，而且

由定理1可知为凹函数.

　　参考文献

　　[1] 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，1992.

　　[2] J.L.W.V. Jessen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes, Acta Math. 30 (1906),175-193.

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