【分　 类】 基础科学
【关 键 词】 凹函数;开区间;连续函数
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正文：

　　摘要: 本文从凹函数的定义出发研究了凹函数的充要条件，并给出凹函数新的判定法.

　　关键词: 凹函数;开区间;连续函数

　　中图分类号：O174.13 文献标识码:A

　　一 定义及引理

　　1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凹凸函数的定义，打开了研究凹凸函数的先河。由于凸分析的发展,人们对于凸函数的研究已十分透彻,而与凸函数相仿的凹函数,研究的较少.本文在总结凹函数判别方法的基础上,给出了新的判别法.

定义：设为一开区间，为定义在上的函数，对任意的，，若

(1)

则称为凹函数。

利用凸函数类似的方法，可以证明下面两个判别函数凹性的结论：

引理1：设为开区间的凹函数，，有(2)

引理2：设为开区间的连续函数,为凹函数,有

(3)

　　二 主要结果

当选取区间上多个变量时,我们有下列重要的定理.

定理1: 设为开区间上的凹函数,且,有

(4)

证明：必要性():(数学归纳法)当时，由定义，(4)式显然成立。设时(4)式也成立。当时，,

　　基金项目：重庆市高等教育教学改革研究项目(0833229)，重庆邮电大学青年教师科技基金项目(A2006-57).

　　作者简介：胡晓红(1978- )，女，浙江兰溪人，讲师,四川大学在读博士生，主要从事非线性分析及偏微分方程理论研究.邮箱：huxh@cqupt.edu.cn.

其中第一个不等号由假设时(4)式成立可得，第二个不等号由定义可得。

充分性():，由(4)和定义可知为凹函数。#

　　定理1的结论类似于凸函数中著名的Jessen不等式。下面的定理2，我们给出了与凹函数等价的新的重要条件。

定理2：设为开区间上的凹函数，

(5)

证明：必要性():不失一般性，不妨设.若，则。从而 ，则存在，使得

(6)

(7)

　　(6)，(7)两式相加可得

　　整理可得

从而或.若,由可知,显然(5)式成立.若,由(6),(7),引理2及定义有

(8)

(9)

(10)

式 (8)-(10)相加后利用就可得(5).

充分性()：令，则(5)式可化为

　　即

(11)

由定义及(11)可知为凹函数.#

定理2的结论可以推广到区间上多个变量，这时我们有下列结论：

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