摘要：圆锥曲线这一章经常遇到求最值的问题。有一类最值问题通常用第一定义把圆锥曲线上的点到一个焦点的距离转化为它到另一个焦点的距离表示，或者用统一定义把圆锥曲线上的点到焦点与到相应准线的距离相互转化，再结合几何图形及相关知识点解决它。
关键词：圆锥曲线，最值，第一定义，统一定义，数形结合，转换。
正文：
圆锥曲线这一章经常遇到求最值的问题。常有代数法或几何法。与焦半径有关的距离最值问题常巧用圆锥曲线的定义结合几何知识，往往使问题轻易解决。通常用第一定义把圆锥曲线上的点到一个焦点的距离转化为它到另一个焦点的距离表示，或者用统一定义把圆锥曲线上的点到焦点与到相应准线的距离相互转化，再结合几何图形及相关知识点解决最值问题。先复习一下圆锥曲线的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|};
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， }的点的轨迹。
统一定义：M={P| ，}01为双曲线，e=1为抛物线
常见类型如下：%20利用第一定义求最值%20x%20y%20O%20图1%20M%20M%20F%20A%20点(4，0)、A(2，2)在椭圆内，M是椭圆上的动点，求的最值。分析：这种距离之和最小的问题，常用到“两点之间以直线为最短”或“三角形中两边之和大于第三边”。三角形中三边两边之和小于第三边，故有
解析：设为椭圆的左焦点，则|MF|+|M|=2a=10。要使|MA|+|MF|最小，当A在椭圆外时，M可为A、F的连结与椭圆的交点，而使|MA|+|MF|的最小值等于|AF|，但A在椭圆的内部，故要适当转化。见图1，∴|MA|+|MF|=|MA|+(2a-|M|)=2a+(|MA|-|M|)，∵≤|A|,故|A||MA|-|M|≤|A|，∵|A|=。即|MA|-|M|≤。∴|MA|+|MF|的最小值为2a-=10—(当M、A、三点共线且M靠近点A 时取最小值)，|MA|+|MF|的最大值为2a+=10+(当M、A、三点共线且M靠近点时取最大值)。
思维点拨：距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系.化曲为直。
例2：P为双曲线上一动点，定点A(5，2)，、为左右焦点，求+的最小值。
分析：求一曲线商动点到两点(或线)的距离的最小值，往往把这两个表示距离的线段尽量转化为分布在该曲线的异侧。这里、在双曲线右支的同一侧，故考虑把转化为P到另一侧的某点(或线)的距离来表示，考虑到+系数的数量上的关系，故用第一定义把转化为用来表示。
解析：+=+2故P、A、三点共线时+取的最小值
练习：在直线l：x-y+9=0上任取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆。
(1)P点在何处时，所求椭圆的长轴最短;
(2)求长轴最短时的椭圆方程。
x%20y%20O%20图4%20P%20F%20F%20解析：(1)连结PF，PF，F(-3，0)，F(3，0)，作F关于l的对称点，连结F，则F与l的交点即为所求点。设，则得(-9，12)，∴F的方程为：y=-2(x+3)与x-y+9=0联立得P(-5，4)。(2)此时2a=%20|PF|+|PF|=6，∴a=，c=3，b=6，∴椭圆方程为：
例3：已知双曲线上()一动点，、为左右焦点，
P为双曲线右支上任意一点。若的最小值为8，求该双曲线离心率e的范围.
分析：的最值问题，可利用双曲线第一定义转化为只含有来表示，且从而转化为关于的函数的最值问题。本题结合了函数思想的运用。
解析：==取最小值8，则取最小值4，又∵，由函数的图像特征，故有，所以，∴3∴e
< >利用圆锥曲线统一定义求最值直接利用统一定义，3)为一定点，F为双曲线的右焦点，M在双曲线右 x y O F A M P 图3 支上移动，当|AM|+|MF|最小时，求M点的坐标. 解析：∵a=3，b=，∴c=6，e=2。过M作MP⊥准线l于点P，则，∴=|MA|+|MP|≤|AP|。当且仅当A、M、P三点共线时，最小。∴，代入双曲线方程，得，故。
[思维点拔]： 数量关系用统一定义来进行转换，从而使问题化归为几何中求最大值和最小值的基本模式.其他圆锥曲线(椭圆、抛物线)中可转化为t(|MA|+|MF|)型的求最值问题均可以利用统一定义类上题求得。
例5.(1987年全国高考题)线段AB=3，其两端点在抛物线y2=x上，求AB中点M到y轴的最短距离，并求出距离最短时M点的坐标。
分析：在此题中结合平面几何图形的几何性质并利用抛物线的定义，可得到比标准答案中的解法简单得多的解法。
解析： 如图，设曲线焦点为F，M(x,y)，设A、M、B在准线上的射影分别为A1、M1、B1，则
|MM1|=(|AA1|+|BB1|)
《中学政治教学参考》
《中华心血管病》
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