摘要：利用热力学原理和损伤力学理论对物料的破碎过程进行了分析，获得了物料破碎过程中的应力方程，并通过大理石循环加载实验，验证了应力方程的合理性，从而得到应力方程的临界值可作为物料破碎的强度判据。

　　关键词：破碎;能量;损伤;应力;

　　Study on stress of material crushing process

　　Abstract: Based on thermomechanics principle and damage mechanics theory, the stress of material crushing process is analyzed, and the stress equation of material crushing process is obtained, and the stress equation is right according to the experimental results of marble cyclic loading, and then the criterion of material crushing is provided by critical value of the stress equation.

　　Key words: Crushing; Energy; Damage; Stress; 0 引言物料中存在随机分布的多种缺陷，而且多为复杂的不连续结构，这使得物料的破碎表现出很大的复杂性、模糊性和不确定性。目前对物料破碎过程中的应力研究主要是采用经典强度理论，而传统的经典强度理论采用了连续介质的假定[1]，这与实际破碎的物料不符。由热力学定律可知，能量转化是物料破碎过程的本质特征，因此研究物料破碎过程中的能量变化规律与强度之间的关系，将更有利于反映物料破碎的本质特征[2]。 1 物料破碎过程中的能量守恒为了更好的研究物料的破碎过程，引入物料的代表性体积单元[3]。根据热力学第一定律：单位时间内物料内能的增量等于外界破碎物料提供的机械能和热能之和，即：

(1)

式中：为物料的密度，为物料的代表性体积单元的内能，为物料的体积，为作用在物料的代表性体积单元上的应力，为相应的应变，为散度算子，为单位时间内通过物料的代表性体积单元的热流量。 2 物料破碎过程中的能量耗散物料的破碎既包括可逆的弹性过程，也包括塑性、损伤、热释放等不可逆过程。正是由于不可逆过程的发生，导致了物料破碎过程中的能量耗散。根据热力学第二定律，能量耗散的不可逆过程满足熵增加原理[4]：

(2)

式中：是物料的代表性体积单元的熵，是绝对温度，是梯度算子，是散度算子。

引入物料的代表性体积单元的Helmholtz自由能表达式：

(3)

　　将式(3)代入式(1)的微分形式得：

(4)

　　将式(4)代入熵增不等式(2)得：

(5)

　　为了更好的说明物料破碎过程中的能量耗散，引入建立在热力学理论基础上的损伤力学[5]。将物料的的代表性体积单元自由能看做热力学势函数的形式，假定为:

(6)

式中：为物料破碎过程弹性应变，为物料破碎过程塑性应变，为物料破碎过程中的损伤强度，

　　对上式(6)求导有：

　　(7)

将式(7)和代入式(6)得：

　　(8)

式(8)中与在物料破碎中是可恢复的非永久变量，因而是任意的也是独立的，于是式(8)与项前的系数应当为零。定义损伤应变能释放率矢量和累积塑性硬化函数矢量：

(9)

(10)

　　则式(8)可改写为：

(11)

　　式(11)第一项代表物料的代表性体积单元破碎过程中的塑性硬化耗散，第二项代表损伤耗散，第三项代表热耗散。

　　根据式(9)可知，损伤变量必是损伤能量释放率的函数，谢和平通过模糊数学的方法和大量试验观测的方法确定了物料的损伤演化方程[6]：

(12)

式中：为物料破碎过程中的能量释放率，为物料材料参数，与物料本身性质有关，可通过循环加载试验方法测定三组对应的数据，以及常数，通过下式得到：

(13) 3 物料破碎过程中的能量释放率通常，损伤变量定义为一个无量纲的量，取值在0到1之间。在考虑物料内的截面情况下，物料受载作用下由于损伤而形成的微缺陷面积为，物料此时瞬时表观面积为，则有效承载面积为，物料的损伤变量为：

(14)

根据Lemaitre应变等效原理[7]，对于物料破碎的有效应力：

(15)

　　对于物料破碎的损伤状态，其损伤线弹性关系可按Hooke定律表示为：

(16)

式中：为物料未损伤弹性模量，为物料损伤后弹性模量。由式(16)可得：

(17)

在大多数情况下，相对于与和相关的弹性应变能，可以不考虑与相关的塑性硬化势能，以及与相关的流动热能。于是物料的代表性体积单元的自由能可表示为：

(18)

式中：为物料弹性部分的应变能，将其简写为。

　　将式(17)代入式(18)得：

(19)

　　将式(19)代入式(9)得：

(20)

　　再将式(17)代入式(20)得：

(21)

　　上式表明了物料的代表性体积单元的弹性损伤能量释放率与弹性应变能之间的关系。将式(21)代入式(11)中，在忽略塑性硬化势能和热能的情况下得：

(22)

由于上式(22)中和都是大于零的，于是上式可以简化为：

(23)

即：，而按照损伤变量的定义，它应具有非负值，即：。因此，这也就从热力学原理上得到了物料破碎损伤变量的取值范围，即：。显然，这与物料损伤变量的前面定义是一致的。 4 物料破碎过程中的应力方程根据弹性力学理论[8]，弹性应变能包括体积变化应变能和剪切应变能两部分，即：

(24)

式中：为物料的代表性体积单元的平均应力，为物料的代表性体积单元的平均正应变，为应力偏张量，为物料的泊松比。

定义Von Mises等效应力为：

(25)

则弹性应变能可表示为：

(26)

由于颚式破碎机中的物料一般为单向受力，则，，于是

　　(27)

　　将式(21)和(27)代入式(26)，得：

(28)

　　将式(12)代入式(28)得物料破碎过程中的应力方程：

(29)

当物料破碎时，为物料破碎的临界能量耗散率，则对应于物料破碎的应力临界应力值，可通过实验测得，对于，式(29)是个超越方程，得不到其解析解，但通过对曲线的图解法，得到物料破碎的能量释放率临界值。 5 实验验证选用大理石制作标准试件，试件为的圆柱体，利用Instron型电液伺服材料实验机使试样受压，预压加载使载荷达到1.5KN，保证试样与压盘完全接触。对试样采用位移控制模式，加载速率为每秒0.005，加载程序为0→0.2→0.1→0.3→0.1→0.4→0.1→破碎。实验数据通过数据采集分析仪和可编程应变放大器实行动态数据采集与记录，表1为实验数据分析计算结果。

　　表1 大理石试样压缩实验数据分析结果 循环次数 极限应力 弹性应变能 弹性

　　模量 损伤

变量 损伤能量释放率 1 20 1068 68.73 0 1068 2 46 12985 68.66 0.001 12997 3 59 24187 67.84 0.013 24506 4 71 41091 65.43 0.048 43163 5 78 49234 64.61 0.162 58752 6 73 53.23 0.225 表1中，极限应力单位为，弹性应变能和损伤能量释放率单位为,弹性模量单位为。根据表1由公式(13)得：，。将其代入公式(29)，并以此画出理论曲线，并将其与实际值相比较，由图1可知，理论值与实测值变化基本一致,验证了应力方程的合理性。

图1 大理石试样破碎的曲线 6 结语本文通过热力学原理和损伤力学理论推导出了物料破碎过程中的应力方程，并通过大理石循环加载压缩实验，验证了应力方程的合理性，得出这一应力方程的临界值可作为物料破碎的强度判据。

　　参考文献：

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　　[2] 谢和平，彭瑞东，鞠杨，等. 岩石破坏的能量分析初探[J]. 岩石力学与工程学报，2005，24(15)：2603-2608.

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　　[5] 易顺民，朱珍得. 裂隙岩体损伤力学导论[M]. 北京：科学出版社，2005.

　　[6] 谢和平. 岩石混凝土损伤力学[M]. 北京：中国矿业大学出版社，1990.

　　[7] Lemaitre J. How to use damage mechanics[J]. Nuclear Engineering and Design, 1984，80(3)：233-245.

　　[8] 徐芝轮. 弹性力学[M]. 北京：人民教育出版社，1979.