【摘要】：本文依据GPS测量的原理，结合实际应用中的经验，就铁路及公路等带状区域内GPS高程测量的拟合精度简要分析，总结出在线路等带状区域内提高GPS高程测量的几点建议。
【关键词】： 铁路勘测  GPS高程测量  拟合方法  拟合精度
 
一. 概述
 
在铁路、公路等线路勘测设计过程中，通常要进行几十公里或者几百公里的控制网，甚至上千公里的带状地形的GPS控制测量，由于GPS的广泛应用，平面控制技术已经很成熟，应用也很普及了，但是GPS高程问题就成了测绘界的主要问题，而它的解决对于铁路和公路的勘测减少许多工作量，所以能找到一种简单有效的拟合方式成了每个测绘界人士每天思考的问题。对于大面积的控制网，高程拟合无疑要用曲面拟合，带状控制网也可以用曲面拟合，而对于几百公里的带状区域和他的宽度（一般在800米）相比的话，实际上就是一条曲线，我们可看作是一条平行的带子，实际上也就是一条曲线，这样曲面拟合似乎可以看成是曲线拟合。
目前研究最多的就是和一些新理论结合的拟合方法，就像神经元网络拟合、小波分析、灰度关联等方法。尽管各种各样的方法都能解决一些实际问题，但对于这个由地壳内部物质密度影响而不规则变化的大地水准面，没有哪一种方法就能根本解决问题，或许面对不同的项目和不同地理特征，选取适当的方法拟合是一种可取方式。
二. GPS大地高与正常高的关系
1．高程系统
     为了说明GPS测量成果在高程测量方面的应用，首先介绍一下关于高程系统的基本概念。通常我们应用的高程系统主要有大地高系统、正高系统、正常高高统。
1)大地高程系统
     大地高程系统是以椭球面为基准的高程系统。大地高的定义是由地面点沿通过该点的椭球面法线到椭球面的距离，通常以H表示。
     大地高是一个几何量，它不具有物理上的意义。利用GPS可以直接测定观测站在WGS84中的大地高程。
2) 正高系统
正常高是以大地水准面为基准的高程系统，由地面点沿铅垂线到大地水准面的距离称为正高，通常以Hg表示。
大地高与正高之间的关系是：
H=Hg+hg                                        （2.1）
式中hg为大地水准面差距。
3) 正常高系统
     由于正高实际上是无法严格确定的，为了实用上的方便，采用正常高系统。
    与正常高相应的基准面，通常称之为似大地水准面。因此，也可以说正常高系统是以似大地水准面为参考面的高程系统。
    任意一点的大地水准面与似大地水准面之间的差值为：
    Hr—Hg=(gm-ym)·Hr/gm                           (2.2)
其中，(gm-ym)为重力异常。在高山区重力异常值较大，两基准面之间的高程差最大可达数米；在平原地区仅为数厘米；而在海洋面上两者相重合。
    似大地水准面与椭球面之间的高程差，一般称为高程异常。正常高与大地高之间的转换关系为：
    H=Hr+ξ                                         (2.3)
    其中ξ为似大地水准面的高程异常。
2．GPS大地高与正常高的转换
    GPS所测高程为大地高，而我们常规测量采用的是正常高。如何实现大地高转换成正常高，从而使GPS所测高程具有实用性是我们要讨论的问题。由GPS大地高转换成正常高的方法可分为两大类。即确定高程异常的GPS高程法和确定正常高的GPS水准法。
1). 确定高程异常的GPS高程法
     点的大地高H由GPS测量确定，相应的高程异常则通过重力观测资料联测，或通过以求协级数建立地球重力场模型求得。有了大地高与高程异常，就可以求得正常高。
     地球重力场模型法的精度主要取决于模型对于似大地水准面短波的分辨能力。我国目前采用180*180阶次求协函数模型，只能分辨半波长约100km的大地水准面特征，由之求得的高程异常的绝对精度约为lm，不可能直接用于工程。
用重力观测资料来推求高程异常时，要求重力测量资料质量可靠且密度充分；但由于我国地域广阔，地势复杂，重力资料分布不均匀且密度不够，因而这一方法在实践上有困难。
2). 确定正常高的GPS水准法
把GPS大地高与水准测量资料相结合，通过若干点的已知GPS大地高和正常高，求得这些点的高程异常；并由所得到的高程异常拟合出其它点的高程异常，即可得到正常高。这种方法简单直接，而且由于目前有足够的水准资料，只要选择适当的拟合模型，拟合精度可达厘米级，完全满足一般工程需要。因此，目前一般采用这种方法拟合求得正常高。
3．GPS正常高测量原理
GPS正常高是WGS84坐标系中地面点到 WGS84椭球面上的高度，而水准高程是地面到以水准原点为基准的相对于平均海平面的正常高。GPS正常高通过GPS测量就可以直接得到。
三.常用GPS高程拟合方法和其适用范围
(1)二项式拟合是目前最为常用的拟合方法，它与已知GPS水准点的精度、密度和分布相关；用二项式进行拟合时，应采用内插方法，避免外推；二项式进行拟合时，采用五参数的方法较好。   
(2)采用移动曲面拟合，根据测区的点位分布情况、大地水准面的起伏情况选择不同的拟合模型。
(3)利用多曲面插值法进行拟合时，其不定因素较多，应注意以下三个方面：①核函数的选取：Hardy的研究结果是对扰动位型调和函数拟合倒双曲面函数，对地形模型等非调和函数拟合正双曲面函数。因此，根据Hardy的建议，对高程异常的拟合应采用倒双曲面函数；②平滑因子的确定：优化选取平滑因子对提高拟合效果有作用，但比较困难，尤其对于抛物面、双曲抛物面和三次曲面，平滑因子选取不同，其拟合结果相关很大。对于双曲面和倒双曲面，平滑因子一般选择已知GPS水准点间的平均距离；③测区内平均坐标的选择：对于大面积、点位较多的测区，可分区进行计算，每个区求取一个平均坐标。当点位不多时，可求取一个平均坐标进行高程拟合。多曲面插值法不适合太平坦的测区，当大地水准面起伏不大时，不宜采用此方法。
根据带状地形GPS布设形式（一般5至10公里一对点）可以首先考虑分区，因为长大干线都是几百公里，不分区显然是不合理的。曲面拟合对于线状GPS布设形式似乎意义不大，不失一般性，本文意在采用曲线分段拟合方来拟合GPS高程。
四 高程拟合精度评定
   由于GPS测得的大地高差的精度很高，给定GPS网的起始大地高就可以求出各 GPS点相对起点精度的大地高。若测得某点的大地高为H，水准高为h，则高程异常。因高程变化异常平缓，可利用一组线性无关的基函数可利用对其进行拟合：
                4.1
其中，为拟合参数，n为拟合参数的数目。如果全网共布设n各控制点，观测了m个 GPS水准点，则拟合的误差方程为：
              4.2
其中，

并设权矩阵为P，利用最小二乘法解得系数X及协因数矩阵Q：
                       4.3
                            4.4
则可计算拟合点的高程异常：
         4.5
单位权中误差为：
                4.6
由误差传播定律可以计算由拟合系数引起的高程异常的精度为：

其中，m为拟合点坐标数。由于拟合系数的相关性较大，将Q简化为对角阵会引起很大的误差，因此，必须用权协因数阵Q计算。
此外，还需要考虑模型代表性误差，若该误差对各GPS点的影响都是，且相互独立，则高程异常拟合的总误差为：
               4.7
用简单的基函数来你和不规则的大地水准面必然会存在模型代表性误差。也就是说。即使拟合系数没有误差，由拟合函数得的高程异常与实际高程异常仍有偏差。该偏差与基函数的选择有关，也与测区的地形、范围有关，一般可根据经验给出。在小范围的局部大地水准面拟合时，平原与丘陵地区该偏差约为，山区或高山区要大一些。上述误差方程式中的残差V不仅包含测量误差，而且还包含了模型代表性误差，所以以上算得的单位权中误差可表示成：
              4.8
其中，为测量误差，为模型代表性误差，只有当观察误差已知时，才能求出模型代表性误差，否则可以采用测量常用的等等影响假设原则：
             4.9
五. 提高GPS水准高程拟合精度的措施
在施测GPS平面控制网时，除了联测一定数量GPS点水准高程之外，不再增加其它工作量，GPS水准高程拟合可以达到等外水准的精度，在一定的条件下，也可达到四等水准测量的精度。根据理论分析和实际勘测的试验结果，欲提高GPS水准高程拟合的精度，应采取下列措施：
1．确保GPS野外数据采集和基线解算向量的质量，这样既能保正GPS平面控制测量的精度，又能提高GPS水准高程拟合精度。
2．保证适当数量的已知水准点数，选择合适的拟合方法。当己知点均匀分布于整个测区时，其点数越多，GPS水准高程拟合的精度越高。但当已知点达到一定数量时，再增加已知点数，待定点的精度没有显著地提高，同时增加联测的工作量；己知点数过少，常常会给高程拟合带来一定的系统偏差。已知点数多少合适，取决于测区的面积和形状。一般对于小测区来说，已知点数以4－5个为宜，采用平面拟合法。对于较大测区，己知点数以6－10个为宜，采用二次曲面拟合法。对于狭长或线状测区，在确定己知点数时，不能仅看面积，主要看其长度。对于线状测区，宜选择多项式曲线拟合法。在进行GPS水准高程拟合时，应把其中的1－2个已知点先不作为已知点，而作为检查点，以检查拟合效果。在检查合格后，再让检查点作为己知点并参与拟合。
3．保证已知点高程的精度。GPS水准高程拟合与已知点的精度有关，当已知点精度降低时，待定点精度明显降低。要得到较高精度的GPS水准高程，就得保证已知点的精度，一般以四等水准测量的精度进行联测为宜。
4．已知点应均匀分布于整个测区。这一点尤为重要，待定点精度在很大程度上取决于已知点的分布状况。当已知点均匀分布于整个测区时，待定点精度较高，否则待定点精度较低。在进行GPS水准高程拟合时，一定要使己知点均匀分布于整个测区，并具有一定的代表性。宁可已知点数少，也不能因凑数而使已知点分布不均匀，更不能使己知点集中在测区的一侧。
 
参考文献：
 
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