【摘要】数学问题易受到变量的混乱，教学中可找到不变量，分析相关的问题，找到解决问题的途径。本人从数学的几何定理教学、代数教学及解题、问题探究教学，分析抓住“不变量”，引导学生掌握数学知识，提高分析问题能力，提升数学素养。

　　【关键词】问题探究教学;变量与不变量

在数学的教学过程中，常发现学生对数学问题的理解，受到题中的一些可变量与不可变量困惑，造成思维上的混乱，影响了正常的解题，学生总是说，对题中的可变量，真是变化莫测，对某一方面或某一时刻理解了可变量，到了别一处，这个可变量又变了，真是捉摸不透，而对不变的量，认为是静止的，不可再有什么思维。究其原因，是学生对变与不变的量，缺乏整体的认识，找不到变量与不可变量之间的内在联系，找不到它们的辩证关系,从而无从下手解题.下面结合自己的教学实践,引导学生进行探讨带有变量与不变的量的数学问题。 利用“不变量”探讨定理的成立。 1、勾股定理的证明 教学时可用四个相同的直角三形拼成如下的图形：正方形. a b c 教学时，可引导学生思考，大正方形的边长是多少?，面积可以表示为：;同时，图形又是由四个相同的直角三形和边长是c的正方形组成，面积又可表示为：;根据同一个图形面积的不变性，可得：，通过计算得到：，这就是勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、 证明：n边形内角和公式 教学时可过n边形的一个顶点出发作对角线，将n边形分为()个三角形，而每个三角形的内角和度数是不变的，都是，所以n边形内角和是：。

< >应用题中的“不变量”往往是列方程式依据，同时配成的含药50%的防腐药水中含“纯药”是，含药30%防腐药水为x kg中含“纯药”是%x kg,含药75%防腐药水为中含“纯药”是75%，不变量就是配成前的“纯药”与配成后的“纯药”是相等的，可列方程：，解得：，因此，需含药30%防腐药水为10kg，则含药75%防腐药水为8kg.

< >几何图形中“不变量”往往是探求问题关系的依据分析: 由于梯形分别给对角线和中位线分割,分成的面积比有了变化,但梯形的上底与下底的长是不变的量.设梯形的上底长为a, 下底长为b,高为h,如图,三角开形ABC的面积为, 三角形CDB的面积为.由于己知三角形ABC面积与三角形CDB面积比为1:2,所以:=1:2,所以a：b =1:2,令a=k,则b=2k,根据梯形中位线定理,EF=.又EF是梯形的中位线,那么梯形AEFB和梯形ECDF的高都是梯形ACDF的高的一半().梯形AEFB面积:梯形ECDF面积:

故选( C).

　　教学策略: (1)引导学生分析清楚题中的不变的量：梯形的上底、下底及高，对角线分梯形的面积比1：2. (2)让学生找到所求的问题:中位线分梯形的面积比是多少? (3)让学生思考“不变量”与所求量的关系,从不变的量出发,可找到梯形上底与下底的关系为1:2,又可找到隐含条件,中位线分成的两个梯形的高相同,故可求出所求的两个梯形的面积比.

例4 从等边三角形内一点向三边作垂线.己知这三条垂线的长分别是1,3,5.求这个等边三角形的面积.

　　分析: 我们知道求等边三角形的面积,须知它的边长,故可设等边三角形的边长为a,一方面,根据题意,等边三角形和面积是:

另一方面,等边三角形的高为,所以.等边三角形的面积是.而同一个等边三角形的面积是不变的,故有:

=.解得.等边三角形的面积是: =.

教学策略:(1)引导学生分析题中的“不变量”：等边三角形的边长及得到的面积,三条垂线比1:2:3.(2)明白题意要求的所求量:等边三角形的面积是多少? (3)从不变的量出发,探求所求的量.设等边三角形的边长为a,则可求出面积为,又从三条垂线比1:2:3,可得到等边三角形的面积为:

.

　　又同一个等边三角形面积的不变性,可得到关系:

=

　　即可求出等边三角形边长及面积

< >抓住代数式求值中条件“不变量”.若求代数式的值.的值为0,就是一个“不变量”.(2)确定所求量,本题所求量易知: =?(3)从 “不变量”出发探求所求量：把所求代数式：

转化为含的代数式的形式，并代入计算，即有：

< >利用不变量探究变化问题研究(3)：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由.

图① 图②

　　图③

分析与教学策略：本题中，沿直线DE折叠，点A可落在三角形边CE上，又可落在三角形内，还可落在三角形外，从图中也可直观可知;可见，本题探究的问题是变化的图形问题，如何找到∠1、∠2和∠A的关系?教学中，可引导学生分析，在折叠的过程中，∠A与∠的大小是始终相等的，从图一可知，∠1与∠A、∠是三角形AD的外角，有关系∠1=2∠A,图二，图三的情况，可引导学生，有两个问题是不变的，一为∠A与∠的大小是始终相等的，二为可用三角形外角定理，抓住“不变量”，可解决了问题，图二中，可连接AA，∠1是三角形AAD的外角，则有∠1=∠DAA+∠DAA ∠2=∠EAA+∠EAA;故有∠1+∠2=∠DAA+∠DAA∠EAA+∠EAA 又∠DAA+∠DAA+∠EAA+∠EAA=∠A+∠，而∠A=∠，所以，∠1+∠2=2∠A. 图三,可引导学生思考, ∠1、∠2是那个三角形的外角，同样，可连接AA，∠2是三角形AAE的外角，则有∠2=∠EAA+∠EAA ;∠1是三角形AAD的外角，则有∠1=∠DAA+∠DAA ; 对比，∠2-∠1=(∠EAA+∠EAA)-(∠DAA+∠DAA)= ∠DAE+ ∠EAD =2∠A;所以,本题虽是复杂,但有不变的量及不变的关系,确定了不变的关系:三角形外角定理,确定了折叠过程中∠A=∠,本题就找到解题的途径.

　　通过抓住“不变量”解题的教学，使学生明白了,解决一类数学问题时,需弄清题目的“不变量”与所求量，从不变量出发，探求“不变量”与所求量的关系，从而达到解题。本人经过多年的教学实践，学生的数学学习兴趣提高了，任教班级成绩大幅提高了。实践证明，抓住“不变量”解题的教学，学生的分析数学问题的能力加强了，思维水平提高了，解决数学问题的方法灵活了，从而提高了学生的数学素养。