摘要 文章分析了微积分在大学物理与高中物理衔接中的作用，通过几个简单的例题对利用微积分法解决大学物理问题的步骤和方法进行了阐述，希望对初学者掌握该方法解题起一定的指导作用。

　　关键词 大学物理 微积分 衔接

　　1、引言

　　本人在教学中发现，大学物理是相当一部分同学感到较难学的一门课程。大学物理与高中物理相比，最大的变化是大学物理是一门以高等数学作为工具的学科。这主要体现在大学物理中很多情况下都需要用高等数学中的微积分方法来分析和解决问题，而高中物理只需要利用现成的公式进行简单的代数运算就可以解决问题。因此，在大学物理的学习中，很多同学会感觉题目无从下手，理解起来较为吃力，如何使学生从高中物理中的解题思路中转变过来，尽快适应大学物理的学习，熟练地掌握微积分方法在两者衔接中起了很重要的作用。

　　2、利用微积分解决大学物理题目的方法

　　微积分学的创立是由英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在十七世纪完成的，内容主要包括微分学、积分学及其应用，其中微分学的主要内容有极限理论、求导和微分;积分学的主要内容是定积分和不定积分。微积分在大学物理的应用中，最基本的思想就是微元法和积分法，两者是紧密联系的，要想积分求某一个物理量，首先要正确确定微分元。物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础，例如运动学的研究是从质点的匀速直线以及匀变速直线运动开始的。实际中的较复杂问题，可以化整为零，分割成小时间或者小空间范围内的局部问题，分割成无限多个微小部分，或者一个复杂的物理过程分解成无限多个微小过程。从中选取一个微小部分或微小过程，即为微元。通过对该微元的分析研究，可以确定物体的受力、做功或者状态变化等。运用微元法的目的，是将不易分析、难以确定的研究对象或物理过程分割到足够小，变成可以近似处理的简单问题，最后再积零为整，把所有局部范围内研究的结果累积起来，就可以得到要解决问题的结果。在理论分析时，把分割过程无限地进行下去，局部范围就会无限地小下去，该思想称为微分;把所有的无限多个微元进行求和，该思想称为积分。整个过程即为微积分方法。

　　2.1 如何正确选取微元

　　在大学物理的学习中，选择正确的微元是解决问题的关键，恰当的微元有利于问题的分析和计算。微元是对连续的研究对象所做的无限分割，分割的对象可以是各种几何体，比如说直线，面积，体积和角量等，分别得到“线元”“面元”“体元”和“角元”等;可以对需要求解的各种物理量进行分割，得到“元电荷”“元电场”“元磁场”“元电势”“元功”“元电流”等相应的元物理量，也可以对一段时间或一个过程进行分解，得到“时间元”和相应的“元过程”。

　　正确选取适当的微元应满足下面几个原则：(1)选取的微元要始终与所求物理量紧密相连，只有这样才能通过研究微元来解决所要求的物理量; (2)选取的微元要具有代表性，即微元应该具有物体的某些物理特征，如可以反映物体的受力特征，运动特征或者状态变化特征等;(3)微元的选取应该尽量简单，只有微元简单易解才能建立较简单的物理模型，最终研究物理问题才能够简单明了，如果微元选取较复杂，可能会很难得到要求的物理量;(4)微元的选取要尽量粗略，不能太细太精确,这样可使下一步的积分变得更加简单。因微分和积分互为逆运算,微分取得越细,虽然近似越精确,但是积分就会越繁，,计算的工作量就会越大，甚至有些情况下根本无法得到最终的结果。因此微分的选取和积分这两方面要综合考虑，既要选择合适的微分元也要使积分简单可行。

　　微元的选取不是唯一的，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，二重或三重积分远比一元积分麻烦，因此在分析物理问题时，充分利用物理量的对称性，尽量选取适当的一元微元，使积分运算简单;不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是对问题的精确解。由于微元无限趋近于零，使有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。

例1：一根均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，绕过中心O且垂直于桌面的轴转动，求作用在杆的摩擦力矩。

解析:解决此题的关键是如何确定摩擦力矩的微分元，即，而又最终要转化成如何确定细杆质量的微分元，可以用“线元”去确定，即。详细的解题过程为：

则

　　2.2、积分变量的统一问题

　　如果在积分号中包含有两个或多个相关的变量，必须要将它们划归为同一个变量，才能积出最后结果，因此，选取了合适的微分元后要想积分，应该先解决积分变量的统一问题。积分中的几个变量，肯定会存在一定的关系，当把其中一个变量选作积分自变量后，其它变量要想办法用该自变量表示出来。积分自变量的选取，应具有典型性，选择合适的自变量会使积分变得简单可行，具体计算时，究竟选择哪一个为自变量，要根据具体情况而定，一般来说，应该选取始末数据都较清楚的变量做为积分变量，这样可以方便下一步的积分上下限的确立。

例2：质量kg的质点，运动方程为，试求1s到2s时间内，合力对质点做的功。

解析：要想求合力对质点做的功，首先要确定受力，可以看出该力为随时间变化的变力，求其做功应先取元功，而元功中包含两个变量t和x，无法直接进行积分，要先把两个变量统一起来。根据可得：

，则

　　2.3 积分上下限的确定

　　在确定好正确的微分元和积分变量之后，就可以进行相关的定积分，积分的下限是变量的初始值，积分的上限即为变量的最终值。

例3：半径为20 cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50 cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始做匀角加速转动。在4s内被动轮的角速度达到8，求主动轮在这段时间内转过多少圈?

解析：设主动轮转过的角度为，主动轮半径，角速度为，角加速度为，线速度为，被动轮半径，角速度为，角加速度为，线速度为，

(错解)当t=4s时，，由主动轮和被动轮的线速度相等可得

，即则

由得

则转过的圈数 N==40(r)

该题的自变量选择为时间t，时间变化为0到4s，但是题目中给定的是主动轮从静止开始做的是匀角加速运动而非匀角速度运动，而求得的仅是4s末的角速度，不能直接进行积分。

(正确)当t=4s时，，根据主动轮和被动轮的线速度相等可得，即

则

把t=4s代人得

　　由主动轮做匀角加速运动可得任意时刻的角速度

，因此

在4s内，则转过的圈数 N==20(r)

　　3、结论

　　文章分析了微积分在大学物理与高中物理衔接中的作用，通过简单的例题说明利用微积分方法解决物理题目需要注意的事项，使用微积分时，首先要正确理解物理量微分形式的物理意义，然后再从物理学的角度理解物理规律，形成物理观，正确选取相应的微分元，处理好积分变量的统一以及积分上下限等问题，利用好微积分的方法去解决物理问题，尽快适应大学物理的学习。

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