【摘要】《高等数学》是大学中的基础课程，极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限过程及常见问题做了整体分析与探讨，并举例说明。

　　【关键词】洛必达法则 未定式 极限

　　洛必达法则求函数极限的条件及适用范围

　　洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数满足条件：

　　(1)或;

　　(2)在该极限过程中，都存在且;

　　(3)存在或为，则。

　　法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：

　　。

　　洛必达法则求函数极限的条件

　　从定理我们知道，无论是型还是型，都必须具备一个重要条件，即在自变量的同一变化过程中存在(或为)时，才有存在(或为)，且此时有，但是，此条件却不便先验证后使用。所以，连续多次适用法则后，每次都须验证它是否为型或型，其使用程序如下：，若存在(或为)，那么就有下式成立：

　　而上式成立是基于都是型未定式，而且从右到左依次相等，但为了书写方便，我们在应用此法则求极限时总是习惯于从左至右写。这样，如果忽略了对条件的验证，就有可能出错，这对于初学者来说要特别留意。

　　例 问取何值时， 成立?

　　解(1)：，而

　　，由此得到，于是，所以

　　，即。根据以上从左至右的推导顺序，问题出在式。即的存在性并没有论证。根据洛必达法则，只有当的存在时，式才能成立，这个问题往往在求极限时被忽视，因此后面的做法就是去了根基，所以上述解法(1)错误。

　　解(2)：，如果，则上式等于0，与已知条件矛盾;如果，是型未定式，用洛必达法则求解，即

　　。

　　根据以上从右至左，多次应用法则得：。

　　解法(2)求出后，讨论了其存在性，排除了的情形后，得出;此时是型未定式，从而可继续应用洛必达法则进行求解，避免了武断上述极限存在的错误。

　　该问题的关键还是讨论的存在性，只有它存在，才能使用洛必达法则。但是，的存在性不能直接验证，只有通过选取常数使之成为未定式，多次使用法则，从右到左，采用求后倒推的办法来解决。

　　3. 洛必达法则求极限的适用函数类

　　洛必达法则只适用于未定式函数极限的求解。一般包括下述两大类：

　　(1)基本类型：型及型未定式;

　　(2)可通过函数变形转化为基本类型型及型的函数极限。主要有下述五类：、、、、。

　　二、洛必达法则的应用

　　1. 基本类型：型及型未定式直接应用法则求极限

　　例1. 求

　　解：

　　注：在求极限时，如果还是型未定式，且仍满足洛必达法则，则可继续使用该法则求极限。

　　例2. 求

　　解：

　　=

　　注：要注意已知极限的分离，如，否则会越做越麻烦。

　　2. 未定式的其它类型：、、、、型极限的求解

　　(1)对于型，可将乘积化为除的形式，即转化为型或型;

　　(2)对于型，可通过通分转化为型未定式计算;

　　(3)对于、、型可先化为以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，划为直接求指数的极限，而指数的极限形式为型，再转化为型或型计算。

　　例3. 求

　　解：此题是型未定式，将原式中的写在分母上，使其变为型后应用洛必达法则。即：

　　例4. 求

　　解：

　　=

　　例5.

　　解：

　　3. 数列极限的洛必达法则求解

　　例6. 求

　　解：此问题可归类到型未定式极限。但由于题目中变量为正整数，对这些孤立点无法求导，故不能直接利用洛必达法则求解。应先将极限式中的换成连续变量，求函数极限，再由归结原则知原数列极限值。

　　，故由归结原则得：

　　三、洛必达法则的失效

　　1. 不符合条件的使用(极限式非未定式)

　　例7. 求

　　解：=.

　　由于本题不是未定式型，而上面错误地应用了洛必达法则，从而得出错误的结论。事实上，此题可以通过直接利用函数连续性得到结果：

　　2. 多次使用法则后极限出现循环现象

　　例8. 求

　　解：，求导两次后极限式出现循环现象，故洛必达法则失效，不能使用。

　　但原式极限存在，可用下面方法求得：

　　3. 当时，函数式中含有或和当时函数式中含有或时，用法则求极限时极限振荡，法则失效。

　　例9.

　　解：这问题是型未定式，但分子、分母分别求导后变成下式

　　，

　　此极限式不存在(振荡)，故法则失效。但原极限存在，可用如下方法求得：

　　例10. 求 .

　　解：(振荡)，法则失效。但原函数极限存在，

　　四、使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法

　　洛必达法则可使很多未定式极限变得简单。但是，在求极限时若能灵活地将法则和其它求极限方法结合起来使用，则计算往往变得更为方便、简单。

　　例11. 求

　　解：当时，. 故

　　=

　　五、洛必达法则求极限注意事项小结

　　1. 在型或型中，不存在，并不能断言不存在。

　　例：，

　　但 不存在。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。

　　2. 连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用此法则，否则就会得出错误的结果。

　　例：

　　事实上，.

　　3. 对型进行转化时，谁放分子，谁放分母也是有讲究的。

　　例：极限反倒变复杂了，可如果变换形式，则.

　　4. 极限存在的因子可先从极限式中分离出来，这样求导时就变得简单些。

　　5. 运用洛必达法则时常结合等价无穷小代换求极限。

　　参考文献

　　[1] 同济大学数学系.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2007

　　[2] 华东师范大学数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社，2001

　　[3] 仉志余，大学数学应用教程[M].北京：北京大学出版社，2006

　　[4] 王世杰.浅析洛必达法则的应用.山西煤炭管理干部学院学报，2007.6

　　[5] 王悦.关于利用洛必达法则求极限的几点探讨.高校理科研究