摘要: 数学理论具有客观真理性，然而“真理只有在同一与差异的统一中，才是完全的”( 黒格尓语). 人的认识来源于现实, 但又要在感性认识的基础上超越于现实才能达到理性认识现实的高级认识阶段. 本文从几个不同的侧面揭示数学理论和现实既同一又差异的这种辩证关系。

　　关键词: 数学理论; 现实性; 数学方法; 差异性

　　“数学是从人的需要中产生的”( 恩格斯语)。因此，作为由人的需要而产生

　　数学必具现实性。比如“数”、“ 形” 两大数学基本概念的产生都是源于现实的。例如“形”， 正是在人们长期釆集果食，打造石具等大量活动中不断通过比较各种物体的形状、区别直曲方圆才逐渐形成的，而并非人脑的凭空创造物。

　　人的认识来源于现实，伹又要在感性认识的基础上超越于现实才能达到理性认识现实的高级认识阶段。“数”、“ 形” 等大量源于现实的数学概念正是在对客观对象感性认识的基础上抽象脱离开现实而得到的理性认识的产物。因此，就必然具有超现实性。例如，“9” 就是从现实中大量具有9这个公共量的属性的物质的表象中抽象出来的。要完成这种抽象，就要脱离开这些对象，即舍去它们质的差异性而留下它们量的共同性。又因任何现实物的质，量属性不可分离，所以“舍质留量” 就表明脱离开了它们。这就决定了“9” 以及所有源于现实的数学对象超现实性。换言之，数学中所有源于现实的对象并不是指某个现实的存在物，而是一种人们的主观想象物。比如，圆这个数学对象，既不是指画在纸上的某个圆，也不是指某个圆形的东西，而是象没有宽度的线，没有厚度的面等几何概念一样，只是人们想象中的那个圆。而只要数学谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的对立这正表明数学中无限大(小)概念和相应现实中“原型” 的不同之处。由于数学本身的相对独立性，由它自身纯粹逻辑地产生了大量对象。如虚数概念，四无数概念，非欧几何理论，抽象代数理论，纤维丛理论等。这说明数学理论的发展越来越抽象，越来越远离现实了。如数学的两大研究基本对象——数量和形已完全失去了通常的数量和形的

　　意义，只要是具有可能运算(也不同于已往的运算意义)法则的“任何自由创造物” 都可以做为“数量” 来研究;只要是与从现实中抽象出来的形类似的任何结构都可以做为“形” 来研究!但是，大量这些“凭空想象的逻辑创造物” 却被现实地接纳又表明源于现实的高度抽象的数学理论又能回到现实。这只能说明数学理论既具有现实性又具有超现实性，不然何以解释数学理论一方面越来越远离现实基础而一方面又能回到现实的这种矛盾?所以数学理论既和现实是同一的，又和现实存在着应有的差异。 形式特征的数学方法刻划现实的形而上学性 现实由物质构成，而任何物质都能表现出量的特征。这保证了形式特征的数学方法即精确数学方法(以下简称精确方法)刻划现实的可行性。

然而，由于人认识能力相对于复杂的现实世界总是有限的。这决定了人们釆用的种种刻划现实的方法总具有不同程度的局限性，当然精硧方法也不例外。比如，若用表示秃头人的头发数(=1,2…..,n). 以所有秃头人的头发数为元素组成一个集合(=1，2，…..n), 显然该集合有最大元素不妨记为.有一人的头发数为,当时, 则由上知不是秃头人. 这样反映现实是不准确的. 因为当时, 仅比中多一根头发就说不秃是不符合现实的.大量的例子都能说明, 由于现实对象的复杂性, 精确方法不能达到精确. 精确方法本身也具有一定程度的形而上学性. 从历史的角度看, 精确方法是为了适应人类各种机械的, 简单的需求及以研究大量机械性的无生命的过程等为对象的学科(天文, 力学, 化学等) 地发展需要而发展起来的方法. 这在很大程度上决定了这种方法的形而上学性; 从本身逻辑上的要求看, 由于 “非此及彼” 的逻辑限制, 就已决定了精确方法刻划对象只能是一种简单化, 粗糙化, 僵化的形而上学的过程. 而体现不出对象 “亦此亦彼” 的辩证属性; 从认识论的角度看，由于分析和综合是人脑相应分析、综合器官的本能属性，所以人们认识对象就要反复对其进行分析和综合. 由于精确方法在逻辑上的要求, 对对象分析的结果就把一个完整统一的对象的各个环节之间有机联系的中介状态破坏了, 而这种状态正是显示出对象的亦此亦彼的辩证属性. 这意味着这些中介状态的被扬弃. 而综合又把一些对象中彼此互不相关的所谓主要特征机械地并在一起, 这样通过多次分析与综合, 认识对象的固有辩证性己遭破坏, 最后为了实现认识上的飞跃达到理性阶段, 再经多次抽象(概括), 一个辩证的对象变成人脑中非此及彼的, 易于形式化, 符号化的清晣印象了. 当然也就 “符合了” 精确方法刻划的一切要求. 而这种认识对象的方式也巳决定了精确方法的形而上学性.

　　以上正说明现实对象的辩证性和数学刻划现实的形而上学性方法之间存在的矛盾. 而这种矛盾正导致了数学理论和现实的差弄性. 然而我们也不能绝对地认为精确方法具有不精确性, 因为这种方法已经受了时间和实践的考验并在一定的现实范围内还将永远对人类做出巨大的贡献, 即我们应以辩证的一分为二的观点对待精确方法. 认识客体的辩证性与认识主体思维的形式特征之间矛盾的不可避免性 思维的形式特征就是思维的形式逻辑化，要求思维应具有同一性，排中性，协调性.即形式思维活动要遵守非此及彼的原则. 由此可见, 由形式思维活动不能得出自相差异和矛盾的结构. 如无穷小量既是零又不是零, 运动既是连续的过程又不是连续的过程, 光既是波动的又不是波动的等结果.

　　辩证法告诉我们: 我们面对的现实都是运动, 发展, 相互联系, 充满自相差异和矛盾的, 由于形式思维不承认对象亦此亦彼的固有辩证属性. 当对象的辨证性表露出来后, 就会造成思维矛盾. 比如, 形式思维只能承认光的波动性(粒子性), 当光的波粒二重性表露出来后, 就会产生思维矛盾, 再如, 形式思维只承认原子结构的全同性, 当原子结构的全同性与非全同性都表露出来后, 就会产生矛盾.

　　矛盾的产生是不可避免的. 因为思维的形式特征要反映对象的辩证性这本身就是矛盾. 数学上种种悖论的出现正说明这个问题. 例如 “贝克莱悖论” 就是由数学思维的形式特征与思维对象------无穷小量的辨证性的矛盾引起的. 数学思维反映不出无穷小量的既是零又不是零的辨证性. 换言之, 数学思维不能允许无穷小量的二重性存在, 只能要求它的单一性. 但由辩证的无穷小量所建立的微积分却被现实所证实, 这又说明思维又应该允许无穷小量的二重性. 但这显然又有违干思维的非此及彼的要求, 于是矛盾产生了. 产生矛盾的根源正是数学的形式思维.

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