摘 要：文章讨论了、可导性与可导性之间的关系，给出了两个重要命题，并进行了严谨的推导，最后对命题的应用进行了举例说明。

　　关键词：绝对值;可导性;函数

1.与可导性之间的关系

命题1设函数在处可导，则在处可导。

证明因为所以，而，所以，，，即(且导数值为0)。

已知在处可导，不妨设导数值为。则。

又已知函数在处可导，则，，所以，，所以，即。

注 命题1还有另一种等价叙述方式。设函数在处可导，则

(1)当时，在处可导;

(2)当时，在处不可导。

　　由命题1的证明过程很容易得出下面的推论。

推论1已知函数在处可导，则。

例1 设，则在处( )

　　A.不连续; B.连续但不可导; C.可导但导函数不连续; D.导函数不连续

分析 这个问题等价于另一个问题：设，讨论在处的可导性。由于在处导数值为1，不等于0，由命题1，在处不可导，但显然是连续的。所以，答案选B。

2.与可导性之间的关系

命题2设函数在处可导，且，则在处可导。

证明因为，且，所以，所以，，，即在处可导(且导数值为0)。

因为，在处可导(不妨设导数值为)，则，所以，从而有在的附近，。

而从的左右两侧同时趋向于，所以，当时，，当时，，所以，即，，，即。

注 命题2有另一种等价叙述方式。设函数在处可导，且，则

(1)当时，在处可导;

(2)当时，在处不可导。

　　由命题2的证明过程很容易得出下面的推论。

推论2已知函数在处可导，且，则在处导数值为0。

例2 讨论在处的可导性。

分析 因为在处函数值为0，导数值也为0，由命题2，在处的可导。`

　　参考文献：

　　[1]赵洪牛，含绝对值函数的可导性讨论.高等数学研究，2004，7(5)：40-41.

　　[2]闫德宝，一元绝对函数可导性的讨论.西昌学院学报，2010，9(3)：18-19.