生活中，很多人抱怨自己受到的不公平待遇——老师给的成绩不公平、老板发的奖金不公平，甚至社会地位不公平。还有人说，连放下学习工作玩会儿游戏都有不公平。的确，我也发现了几个很不公平的游戏，这里不妨从数学的观点看看它们怎么个不公平。

　　游戏一：猜数字。

　　这是个简单而又复杂的游戏。

　　这个游戏的规则很简单。一般两个人玩，一方出数字，一方猜结果。出数字的人要想好一个没有重复数字的4位数，不能让猜的人知道。猜的人每猜一个数字，出数者就要根据这个数字给出几A几B，其中A前面的数字表示位置正确的数的个数，而B前的数字表示数字正确而位置不对的数的个数。

　　这个游戏很复杂。事实上，这个游戏的每一步都是精心设计过的，怎样才能在尽量少的步数内猜出数字，其中的学问很大。

　　于是乎，有人为了“增加游戏难度”，就规定5次，甚至4次内猜出数字，然而，这对猜的人是不公平的。我们不妨利用信息论看看有没有可能5步以内猜出数字。

　　在信息量的计算公式I(M)=-Clogap中，为方便记录与计算，取C=1，a=10，计算得如下数据： 数字对的个数 1 2 3 4 0 数字对的概率 8/21 3/7 4/35 1/210 1/14 信息量 lg(21/8) lg(7/3) lg(35/4) lg(210) lg(14) 位置对的个数 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 4 / 位置对的概率 3/4 1/4 7/12 1/3 1/12 11/24 3/8 1/8 1/24 3/8 1/3 1/4 1/24 / 信息量 lg(4/3) lg4 lg(12/7) lg3 lg12 lg(24/11) lg(8/3) lg8 lg24 lg(8/3) lg3 lg4 lg24 / 总概率 2/7 2/21 1/4 1/7 1/28 11/210 3/70 1/70 1/210 1/560 1/630 1/840 1/5040 1/14 信息量 lg(7/2) lg(21/2) lg4 lg7 lg28 lg(210/11) lg(70/3) lg70 lg210 lg560 lg630 lg840 lg5040 lg14 熵 约0.834199924 所需信息量 lg(5040)

　　当平均信息量为熵时，次数最少，即lg(5040)除以0.834199924约为4.44，故至少要5次才有足够的信息猜出数字，否则即使5次以内猜出，也只是运气好罢了，并不是真正推理出了答案。事实上，5次只是一个必要条件，因为猜的过程中很难做到平均信息量有熵那么大，我在网上看过一些人的编程，最厉害的也只能保证7次之内猜出，所以要人来算，5次之内几乎是不可能的。

　　从这个游戏中我们不难想象，大多数规定步数的智力游戏，只要减少步数，提供的信息总量就会减少，马上就成为了一个不公平的游戏，很多人钻了这个空子设计了很多不公平的游戏让人去玩，结果玩的人费尽心思也没有结果，悲哉!

　　游戏二：圈叉棋。

　　这个游戏也十分的经典：在3×3的9个方格子，先下者画圈，后下者画叉，每人可以任意在没有对方棋子的封闭方格里下一次，看谁先连成一行(一列，斜线)3个就判胜。由于圈叉棋规则简单，在任何地方都可以玩，所以是打发时间的有效的休闲游戏。

　　然而，事实证明这个游戏只要双方都足够谨慎，最后一定是和棋。于是有人就想出了圈叉棋的另类玩法：

　　另类玩法一：反过来玩，即谁先连成一行(一列，斜线)3个就判输。但这种玩法不公平到了极点——先下者必胜!先下者在中心画圈，然后看画叉的人走的地方，只需在这个叉的中心对称的地方画圈即可。

　　另类玩法二：不分圈叉，即下棋的人既可以画圈又可以画叉，每人下一次看谁先连成一行(一列，斜线)3个就判胜。但这种玩法也不公平——先下者在中心画圈，对方肯定不能再画圈了，只能画叉，然后看画叉的人走的地方，只需在这个叉的中心对称的地方画叉，于是又轻松获得了胜利。

　　从这个简单的游戏我就想到了经典的五子棋游戏也是有必胜策略的(不考虑为了使游戏公平而增加的“禁手”、“交换”等规则)，由于必胜策略过于复杂，这里不多做论述。但我意外地发现这样一个道理：若一个游戏只有胜负两种结果，且该游戏是有限步的，游戏双方每次的选择也是有限步的，则必有一方有必胜策略。证明如下：

　　证明(数学归纳法)：不妨设游戏的步数为n,甲乙进行游戏，甲方先走，则

　　1、n=1时，因为甲的选择是有限步的，又规定了游戏只有胜负两种结果，则甲的任何一种走法都导致甲胜或乙胜两种结果之一。若存在甲的一种走法使甲获胜，那么甲就选择这种走法，因此甲有必胜策略;否则乙必胜，即乙有必胜策略，所以n=1时命题成立。

　　2、假设n=k时命题成立，即n=k时一方有必胜策略，则

　　当n=k+1时，甲先走一步，此时游戏成为一个新的n步的游戏，甲的第一步的选择是有限的，记为m种，故产生的新游戏有m种可能。由假设知，产生的n步的新游戏存在一方有必胜策略。若在这m个选择中，存在一种选择使甲在接下来的游戏中有必胜策略，则甲选择这种走法，则n=k+1时甲有必胜策略;否则由假设知，无论甲在第一步怎么走，乙在接下来的游戏中全都有必胜策略，那么当n=k+1时乙有必胜策略。由1、2知，若一个游戏只有胜负两种结果，且该游戏是有限步的，游戏双方每次的选择也是有限步的，则必有一方有必胜策略。

　　从这个结论我们可以反发现，我们平时玩的游戏只有把和局这种情况去掉，大多数都是不公平的!

　　然而，如果事实真的如此，这些游戏被造出来还有什么意义?其实，如猜数字游戏，若真的每步都想方设法使信息量最大，加上点运气，绝大多数数字都能在6步之内猜出。又如以棋类为代表的第二类游戏，纵使一方必有必胜策略，但如围棋、象棋(忽略和局的情况)，从古至今有谁想出了这个必胜策略呢?那些棋类的国际大师们也不过掌握了在“较少”步数情况下的必胜策略就闻名于世了。“一着不慎满盘皆输”，必胜策略又岂是那么好实现的，上面证明中“甲先走一步，此时游戏成为一个新的n步的游戏”不就最好地说明了这一点吗?

　　人生亦如此，所谓的不公平很多程度上是自己没有努力，没有看清楚周围的环境，没有充分利用身边的资源。

　　大多数游戏是公平的，关键在于你对它了解多少，你能驾驭到哪种程度;生活亦是公平的，只要你乐观向上，放远目光，积极努力，把握时机，成功自然就来了。

　　参考资料：

　　杨启帆：《观察-猜测-证明是探索奥秘的基本方法之一》，百度百科。