摘要：本文以DDA算法，中点直线算法和Bresenham直线算法为模型，主要从时空的角度讨论三种算法的优缺点。并以C语言为工具编制了相应的程序以实现该算法。

　　关键词： 光栅化 DDA算法 中点直线算法 Bresenham直线算法

　　0 引言

　　显示器的屏幕由可以发光的像素点组成，从放大的几何位置看,所有这些像素点构成一个矩形的阵列，利用计算机控制各像素点按我们指定的要求发光, 就构成了我们需要的图形。现实中我们要讨论的图形却常常是用几何参数来描述的，哪些像素点是正好在图形上或最靠近图形，通过这些像素点描绘出相应的几何体的图形。在点阵图形系统使用中，每建立或修改一幅图形，一般要用数百次甚至数千次直线等其他基本运算。因此这些算法不仅必须要建立视觉效果比较好的图形，还必须要执行得尽可能地快。

　　1 算法比较的三个指标

　　评价一个转换算法的优劣可以通过如下三个方面来进行:

　　(1) 所显示图形的精度，转换出的点阵图形毕竟只是对原始图形的近似, 有一定的误差, 这个误差的大小可根据实际需要而定。

　　(2) 算法的时间复杂性, 也就是算法的速度。

　　(3) 算法的空间复杂性, 即算法运行过程所需要的内存空间的大小。

　　2 光栅直线算法

　　光栅显示器可以看作是一个像素的矩阵，在光栅显示器上显示任何一个图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色和灰色像素的集合。由于光栅图形只是近似的实际图形，如何使光栅图形最完美的逼近实际图形，便是光栅图形学要研究的内容。

　　数字设备画直线是通过画直线两个端点间的各个离散的点来完成。每个分散的点的位置通过直线方程来计算。对于光栅显示系统，直线颜色装载在相应象素位置的帧缓存中。屏幕坐标只能为整数，因此，画点的位置只能近似实际直线上点的位置。例如计算的点的位置(10.48,20.51)近似为(10,21)。这样画出的直线会出现锯齿样，在低分辨率的显示系统上尤其明显。

　　数学上的直线是没有宽度的，是无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近似的显示直线。当我们对直线进行光栅显示时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换，又称光栅化。

　　由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应可能的快。为比较三种光栅直线算法，下面先后介绍三种算法的基本原理与实现方法。

　　2.1数值微分法(DDA算法)

　　DDA是数值微分分析式(digital differential analyzer)的缩写，是根据直线增量来产生直线的，DDA算法的本质是用数值方法解微分方程，通过同时对x和y各增加一个小增量，计算下一步的x,y值。

　　DDA算法具体实现的方法：已知过端点P0(x0, y0), P1(x1, y1)的直线段

　　L:y=kx+b

　　直线斜率为

　　先考虑|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1，y最多增加1。

　　即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率);

　　当 |k| >1时，必须把x，y地位互换

　　在这种情况下，y每增加1，x最多增加1。

　　即：当y每递增1，x递增1/k(即直线斜率倒数);

　　上面是从左端点开始计算的，若以右端点作为起始点

　　当|k| ≤1时：取Dx=-1, yi+1=yi-k

当|k| ≥1时：取Dy=-1, xi+1=xi-1/k 2.2 中点直线算法假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为(xp,yp)，则下一个像素点有两种可选择点P1(xp+1,yp)或P2(xp+1,yp+1)。若P1与P2的中点(xp+1,yp+0.5)称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个像素点;当M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。这就是中点画线法的基本原理。图1. 中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图

　　下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F(x，y)，并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式: d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

　　所以：

　　当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个像素;

　　当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象像素;

　　当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素;

　　注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率：

　　若当前像素处于d>=0情况，则取正右方像素P1(xp+1, yp),要判下一个像素位置，应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量为a。

　　若d<0时，则取右上方像素P2(xp+1, yp+1)。要判断再下一像素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b，增量为a+b。画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。

　　由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，这样就写出仅包含整数运算的算法程序。

　　2.3 2.3 Bresenham直线算法

　　算法原理：过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。

　　如图2所示，设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标像素已经确定为xi，其行坐标为yi。那么下一个像素的列坐标为xi+1，而行坐标要么为yi，要么递增1为yi+1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0=0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d=d+k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前像素(xi，yi)的右上方像素(xi+1，yi+1);而当d<0.5时，更接近于右方像素(xi+1，yi)。为方便计算，令e=d-0.5，e的初值为-0.5，增量为k。当e≥0时，取当前像素(xi，yi)的右上方像素(xi+1，yi+1);而当e<0时，取(xi，yi)右方像素(xi+1，yi)。

　　图2 Bresenham算法所用误差项d

　　3 三种光栅直线算法的比较

　　我们就以从(20,20)到(30，50)分别用DDA算法，中点直线算法和Bresenham直线算法画直线，并运行30000次。

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