内容摘要:应用基尔霍夫定律建立基于拓扑图的行星轮系数学模型——回路方程组、切割方程组来分析、解决行星轮系运动学的有关问题。

　　关 键 词: 拓扑图;基尔霍夫定律;行星轮系;运动特性。

　　1、轮系拓扑图

　　根据行星轮系的结构特点，我们可将如图1所示行星轮系的结构图按构件功能，分为太阳轮、行星轮、定轴齿轮、系杆(转臂)、转轴等。以实心点表示齿轮，小方框表示系杆，省略表示转轴。对于构件之间的联系，以粗实线表示齿轮副，细实线表示系杆与行星齿轮构成回转副，虚线表示系杆与齿轮固定联结。为了简便地表达轮系，系杆在太阳轮轴线上形成的回转副省略。这样就形成了行星轮系拓扑图，如图2所示。

 

　　图1：轮系结构图 图2：轮系拓扑图

　　2、轮系和基尔霍夫定律的关系

　　我们将行星轮系转化为定轴轮系来分析。现以一个典型的2K—H行星轮系为例，后面的证明和分析均以此为例。轮系结构图和拓扑图如3、图4所示。

 

　　图3：轮系结构图 图4：轮系拓扑图

　　根据相对运动原理，求得机构中每个构件相对于转臂H的角速度，为:

=- =-

=- =-=0

　　相对应的角速度比应为:

= =

　　由此可以得知，行星齿轮传动中任意构件1和2相对于构件H运动时的角速度之比为:

== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑴

　　同理，构件1和H相对于构件2运动的角速度之比:

== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑵

　　将式(1)、式(2)等号两边相加后，则可得到:

+=1

即 +=1

化简可得：++=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑶

同理，可得:++=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑷

　　由图4可以看出，该拓扑图有两个基本回路，分别为“2—1—H”和“2—3—H”。在这两个回路中它们角速度的变化值满足了式(3)、式(4)，即在回路中角速度的变化值为零。这刚好对应基尔霍夫电压定理，即：对电路的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。由此我们找到行星轮系(电路)角速度(电压)相对应的关系。

　　若不考虑摩擦力和传动效率，在行星齿轮传动转矩平衡时，作用在行星轮系三个基本构件上的外转矩代数和为零，且它们所传递的功率代数和也为零。对于图4，齿轮1，齿轮3作为系统的输入，系杆H为系统的输出，则：

++=0

++=0

　　即中间轮2(可看作电路中的输入、输出分界节点)力矩的代数和为0。对于行星轮系中其余独立构件：输入构件，外界的输入就等于该构件的输出;输出构件，该构件所有的输入就是构件的输出。这刚好对应基尔霍夫电流定理，即：任一电路中，在任一时刻，对于一个节点，流进或流出该节点的所有支路电流的代数和为零。独立构件和中间轮都可以看成一节点。

　　3、运用电路理论分析轮系运动特性

　　3.1构建基于拓扑图电路理论

　　一个电网络是一个有向图G，根据电路理论可知，一个有向图G应满足: 基尔霍夫电压定律。

即：=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑸

式中，是表示各边电压的矢量，叫做G的支路电压矢量。是回路——边关联矩阵。

　　3.2 建立行星轮系数学模型

一有向图G的边关联矩阵(回路矩阵)，用符号来表示，它是一p×b阶矩阵，这里p是G中的回路数，设=〔〕，则: =1(如果边在回路i中，同时回路和边的方向一致);=一1(如果边在回路i中，同时回路和边的方向相反);=O(如果边不在回路中)。

是基尔霍夫电压方程的系数矩阵，在矩阵不包括仅改变方向得到的回路，其原因是改变方向仅仅改变中某一行的符号。

　　图图5：轮系传动拓扑图

基于拓扑图研究轮系运动特性，赋予线的权值为相邻构件角速度差值矢量，拓扑图中箭头方向视为行星轮系机构运动传递方向。取拓扑图中各线权值为箭头起始点角速度矢量减去终点角速度矢量，形成轮系传动拓扑图，如图5所示。由传动拓扑图写出的线权值数学表达式，称为传动矩阵。 根据相对角速度和电路理论中的电压对应的关系，我们把轮系传动拓扑图看做一棵树，处于同轴位置的齿轮和系杆的连接称为这棵树的连支，规定连支的方向为传动回路的方向。由基尔霍夫电压定律可知，与式(5)相对应的相对角速度矢量可表示为：

=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑹

　　用矩阵表示如下：

=0

式中，表示边关联矩阵，对应传动拓扑图根据回路的定义可以书写出;表示各边角速度矢量。由于角速度的求解最后都是通过齿轮的齿数来进行计算的，则矢量可以转化为齿数矩阵和某些特定的角速度矢量来表示，若由齿数表示出来的矩阵表示为传动矩阵，则式(6)就可以表示为：

=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑺

式中，是根据常用的计算传动比公式推导出的传动矩阵，为传动拓扑图中连支矢量。则由图5表示的传动拓扑图对应的矩阵可表示为：

=0

　　3.3运用电路理论分析轮系中的力矩

基尔霍夫电流定律表示为：I(t)=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑻

　　式中，支路电流矢量I(t)是表示G中边的电流i(t)的矢量。

一有向图G的切割矩阵是一q×b阶的矩阵，用符号=表示，且q是G中非空切割数，则:=l(如果边在切割i中，且其方向与切割方向一致);=-l(如果边在切割i中，但其方向与切割方向相反);=0(如果边不在切割之中)。

对于一个连通有向图G，它的割集矩阵用符号表示。G的边编号方式是使的最后r列对应于树t中的树支。同时如果按这一编号重新整理的行和列，该割集矩阵能够分块为= 。 式中是秩为r的单位矩阵。

　　利用基尔霍夫电流定律来计算时，公式的形式会略有改变，但是表达的依据还是依靠基尔霍夫电流定律。

在利用拓扑图来计算电流的时候，割集矩阵作为基尔霍夫电流的系数矩阵，I(t)矢量来表示电流矢量。在利用这一性质时，我们同样把割集矩阵作为力矩的系数矩阵，由于电路拓扑图和轮系拓扑图表示有一些不同之处，则在表示力矩矢量的时候也就有所不同，用来表示输出力矩，用来表示力矩的输入矢量，是各个独立构件的力矩，则非独立构件的力矩一律用零矢量来表示，输入等于输出。则和基尔霍夫电流定律的公式表达式(8)相对应的力矩公式则为：

(+)=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑼

　　力矩的计算还要依赖于构件之间的力的作用，则上式可具体表示为：

+=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑽

注：树枝的方向为基本割集的方向。其中，和分别表示力矩和力的基本切割矩阵。则针对上例代入可得：

+=0

　　求解可得：

=N，=N，=N,

=-2000Nm

　　4、结论

　　基于拓扑图电路理论在行星轮系运动学特性中的应用，理论证明了基于拓扑图的行星轮系和电路理论之间的对应关系。应用基尔霍夫电压和电流定律来求解行星轮系的传动比和角速度以及行星轮系中各个构件之间的受力和力矩，提出了行星轮系运动学和动力学分析的新方法。

　　参 考 文 献

　　[1] 饶振纲.行星齿轮传动设计[M].北京：化学工业出版社，2003.

　　[2] 陈惠开.应用图论图和电网络[M].范定松 张玲玲译.北京：人民邮电出版社，1990.

　　[3] 邱关源.电路[M].第9版.北京：高等教育出版社，1999.

　　[4] 薛隆泉 汪友明 王慧武等.周转轮系分类及综合[J].中国机械工程，2O05.

　　[5] 孙桓 陈作模.机械原理[M].第6版.北京：高等教育出版社，2002.

　　[6] 薛隆泉 郗向儒 崔亚辉，等.行星式无级变速传动[M].西安：陕西科学技术出版社，1996.

　　[7] 刘相蕊 薛隆泉 史晓影等.应用电网络分析行星轮系运动学特性并仿真验证[J].机械传动.2009(33).