摘要：随着CAD技术的不断发展，斜齿轮的精确建模称为对斜齿轮进行力分析、运动分析、噪音控制、轮齿修型等研究的基础，在很多论文中都对斜齿轮的参数化精确建模进行了讨论，经过笔者的分析，发现这些方法很多都不能得到精确的参数化模型，在此针对这些问题从理论上给与分析，为齿轮的精确参数化建模提供一定理论参考。

　　关键词：精确建模;斜齿轮;参数化;扫掠

　　中图分类号：TH132.41 文献标识码：A

　　0、引言

　　齿轮传动是机械传动中应用最广泛的一种传动方式，由于渐开线的特点，渐开线齿轮又是齿轮传动最常用的齿轮类型。近年来随着CAD/CAE/CAM/CAPP技术的迅速发展，为了便于利用计算机仿真软件对齿轮传动进行运动、振动噪音、轮齿修型等分析，齿轮的精确参数化建模已经成为一个必要过程，而齿轮的建模精度又对计算结果起到决定性的作用。渐开线直齿圆柱齿轮由于螺旋角为零，因此精确建模已经没有问题，而渐开线斜齿轮由于齿面为空间渐开线螺旋面，且其端面齿形与法面齿形不同，三维精确参数化建模过程比较困难。在目前所能查找的论文中提出了很多斜齿轮精确参数化建模的方法，但仔细研究发现里面所提到的很多方法根本就无法实现斜齿轮的精确参数化建模,为此先从理论上对斜齿轮参数化精确建模进行讨论。

　　1、参数化建模中齿数与模型分析

　　在斜齿轮的精确建模中有一部分文献没有考虑到齿数对建模的影响[1][3][4][5][6][7][8]。没有考虑齿根圆与基圆之间的大小关系，根据斜齿轮的齿根圆与基圆公式有[10]193-196：

(1)

(2)

(3)

　　由公式(3)可以得到

(4)

如果斜齿轮的齿根圆与基圆相等，则公式(4)右边等于零。

　　作者简介：

　　逄明华，1977.9出生，男，硕士，讲师 主要从事《机械设计》《机械原理》教学与科研

　　研究方向：参数化设计 机构变胞综合 现代设计方法 邮箱：pangminghua909@163.com

(5)

对应标准齿轮有，这样斜齿轮的齿根圆与基圆之间的大小关系就是螺旋角、齿数和法面模数的函数。当齿根圆与基圆相等时，那么斜齿轮的齿数与斜齿轮的螺旋角就成一函数关系，在此把这个函数关系用来表示，这说明斜齿轮的齿根圆与基圆相等的分界线是变化的，而不是恒定的。

　　图1.1 螺旋角与齿数的关系曲线

　　Fig.1-1 the relations curves of number of teeth and helix angle

表1斜齿轮齿根圆与基圆相等时的齿数与螺旋角 齿轮精确建模时，当齿根圆小于基圆的时候，齿根圆与基圆之间是没有渐开线的，这部分曲线是刀具的齿顶加工出来的过渡曲线;当齿根圆大于基圆时，齿廓曲线全部为渐开线。所以斜齿轮精确建模一定要分这两种情况来讨论，为了方便在此用表格来给出两者的数据关系。

　　图1.2是两种方法得到的齿数对比 (两曲线不重合是误差原因)。

　　图1.2 当量齿数与公式(5)结果对比

　　Fig.1-2 the contrast curves of Virtual number of teeth and formula five

　　2、螺旋角与斜齿轮模型的关系分析

　　现有很多论文中斜齿轮的精确参数化建模都是先利用渐开线表达式生成渐开线一条齿廓曲线，把这个端面曲线沿螺旋线进行沿引导线“扫掠”或“曲面已扫掠”命令来生成一个斜齿轮的轮齿，然后利用环形阵列生成斜齿轮的精确模型[1][2][3][4][5][6][7][8]。

　　2.1 螺旋角的关系推导

　　斜齿轮的螺旋角是指分度圆上螺旋线的切线与轴线之间所夹的角度。由下推出[10]：

(6)

-螺旋线的导程;

-斜齿轮分度圆上的直径;

可以看出螺旋角是齿轮分度圆的一个函数，在同一齿轮中，任意圆周上的螺旋角为:

(7)

　　图1.3 斜齿轮螺旋角

Fig.1.3 helix angle of bevel wheel

　　通过公式(7)可以看出，在不同的圆周上螺旋角是不同的。

　　2.2 沿引导线扫掠策略

扫掠体的数学模型是，先进行路径规划，即将扫掠路径进行离散，求解出时刻通过扫掠路径曲线上节点的坐标，然后确定在每个节点上的投影面(法平面)方程，然后将物体向投影面(法平面)投影，当时间间隔足够小时，在满足一定的精度情况下，把时刻和时刻之间生成的扫掠体看成是由这些投影曲线组成的面域绕转动极轴转动生成的实体。

　　为了简化求解过程, 扫掠路径通常写成式的参数形式：

() (8)

节点的切矢量为：

(9)

节点的法平面为：

(10)

　　那么要想对一个物体进行扫掠必须给出扫掠路径和扫掠物体，在斜齿轮精确建模中，扫掠路径是空间螺旋线，扫掠物体为渐开线的齿廓，这样扫掠出来的齿形随可以参数化，但在齿形上的每一点的法线都为扫掠路径的切矢量，如果在创建时，给定的扫掠路径是分度圆上的螺旋线(在软件中这个命令是单参数的)，则得到的轮齿是任意一点的螺旋角都等于分度圆上的螺旋角，通过公式(7)可以看出这是不正确的。三维模型图参考图1.4。

　　2.3 沿多条引导线已扫掠策略

　　一条螺旋线不可能得到正确的轮齿，如果采用多条螺旋线做扫掠路径只能使用软件中的“曲面已扫掠”命令来实现，当扫掠路径比较多的时候可以得到比较精确的轮齿模型，但这个命令是不支持参数化的，也得不到参数化模型。

　　表1 扫掠操作和曲面已扫掠的区别对比 扫掠方式 特征操作下的扫掠 曲面操作下已扫掠 引导方式 一条引导线 可以参数化 多条引导线 不可以参数化 精确程度 不能得到精确的模型 可以得到精确的模型

　　下面用一个实例进行验证：

图1.4是将端面的一个齿廓面沿引导线扫掠生成的轮齿形状，此螺旋角为，可以看出轮齿的形状发生了严重的扭曲，且随着螺旋角的度数增大，扭曲现象就越明显。

　　图1.5是将端面的一个齿廓面利用曲面里面的已扫掠生成的轮齿形状，可以看出当使用一条螺旋线的时候，轮齿发生了扭曲，不可能产生精确地轮齿。当增多引导引导线串时，扭曲程度降低，另外通过图3与图2的对比可以看出两个操作都产生了扭曲，但扭曲程度是不一样的。

　　图1.5 沿引导线扫掠后的实体模型

Fig.1.5 the model of curves sweep with one guideline 图1.4 沿引导线扫掠后的实体模型

Fig.1.4 the model of sweep with one guideline 通过上述论证，要想得到参数化的精确模型，必须使用扫掠命令来实现，可以对此命令进行二次开发，给定分度圆上的螺旋角，然后设定渐开线上上段的个点螺旋角的值是线性递增的，下半段式线性递减的，使递增和递减的值分别等于齿顶圆上螺旋角和齿根圆上的螺旋角，这样既可以参数化又可得到精确的模型(具体可参考作者后续文章)。

　　3、阵列操作与参数化分析

　　在很多文献中当单个齿生成后通过阵列的方法来生成整个斜齿轮模型[2][3][5][6][7][8]，通常在软件中有两种生成方法：第一种是特征操作下的阵列(引用下的环形阵列)第二中方法是变换下的环形阵列，这两种方法本质上是不同的，引用下的环形阵列是不能参数化的，而特征操作下的环形阵列是可以参数化的。

　　表2 两种扫掠形式参数化对比[9] 扫掠方式

　　阵列方式 特征操作下的扫掠 曲面操作下已扫掠 搭配 参数化 搭配 参数化 变换下的环形阵列 √ × √ × 特征操作环形阵列 √ √ × ×

　　所以要想进行参数化设计必须采用特征操作下的沿引导线扫掠来生成轮齿，然后再进行特征操作下的环形阵列来得到参数化模型。

　　4、结束语

　　本文主要对已有的斜齿轮精确参数化建模的方法进行分析，推导出其不能得到精确参数化模型的理论原因，为以后斜齿轮的精确建模提供理论上的参考依据。精确模型一定是理论上推导证明出来的精确，还要注意当通过计算机算法去实现出来后一定存在误差的，那么必须对误差进行分析，确定误差的范围是不是在后续分析的允许范围内。

　　参考文献：

　　[1] 白剑锋 等.UG在渐开线斜齿轮参数化设计中的应用[J].机械设计与制造 2006.7.p71-73

　　[2] 邵家云 任丰兰.UG中渐开线斜齿轮的全参数化精确建模[J]. 农机使用与维修 2009.1.p97-99

　　[3] 赵向前 徐洪涛.基于UG4.0的斜齿圆柱齿轮的三维精确参数化建模.金属加工 2008.2.p73-74

　　[4] 鲁春艳.基于uG的齿轮齿条式转向器的虚拟设计与分析. 苏州市职业大学学报 2009.3.p20-23

　　[5] 徐雪松 毕凤荣.基于UG的渐开线斜齿轮参数化建模研究. 机械设计与制造 2003.12.p47-48

　　[6] 孙江宏姚文席 吴平良. 基于UG的斜齿轮三维参数化设计方法—扫描成型法.2003.37(2)p19-22

　　[7] 徐江敏，孟慧亮，苏石川. 渐开线斜齿轮的参数化设计与应用. 计算机应用技术.2008.11.p33-35

　　[8] 沈军 文军. 斜齿圆柱齿轮三维参数化建模运动仿真及其在机床设计中的应用. 组合机床与自动化加工技术.2004.11.p9-11

　　[9] 李玉龙. 车用斜齿轮模型的UG旋转成型法研究. 机械传动.2008.1.p33-36

　　[10] 孙桓 陈作模.机械原理(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2006.5