摘要：由于第一类积分方程的不适定性，考虑用双侧差商来计算，利用一致有界原理证明了此种方法构造了一个正则化策略.

　　关键词： 一致有界原理;正则化策略;第一类积分方程

　　一致有界原理在泛函分析中有着非常重要的地位，起着非常重要的作用.但是如何用其求解实际问题的例子可参考的资料却不多，尤其是在反问题中例子较为少见.为了更充分说明它的重要性，下面给出一致有界原理在反问题中的应用。其中借用了Tikhonov正则化策略定义给出了详细的证明过程.

　　首先给出一致有界原理：

　　定理1：设是巴拿赫空间，是赋范空间，是单射，，，若，满足，则.

　　定理2：设是巴拿赫空间，是赋范空间，是子空间，，其中，则下列两结论是等价的：

　　(i)若，，则;

　　(ii)若，，则,.

　　在微分方程反问题中，许多反问题的例子都归究为求解第一类积分方程：，其中，，，,其中通常是已知的,要求.而事实上我们知道第一类积分方程是不适定的.为了计算第一类积分方程，考虑用双侧差商来求解.在此要借用Tikhonov正则化策略定义，因此，下面先给出此定义：

　　定义：设，是一族线性有界算子，若满足，，则称为正则化策略.

　　令步长为，定义

　　其中.

　　证明：定义了一个正则化策略.

　　为了说明定义了一个正则化策略，由正则化策略定义，只需证明在算子范数下是一致有界的，且对于光滑的，即可.

　　证明：由微积分基本定理知

　　这样可得

　　再由柯西-许瓦兹不等式得

　　由及上相同讨论，可估计得，使得，由，，显然是一致有界的.

　　下面证明是收敛的.

　　令，则，在上，由泰勒公式得

　　①

　　②

　　①-②得

　　改变积分次序，由柯西-许瓦兹不等式得

　　同理在及上由泰勒公式得

　　，，

　　由的一致有界性得，.再由定义即可证得是正则化策略.

　　参考文献：

　　[1] A.Kirsch. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems[M].北京：世界图书出版公司北京公司，1999.25,228.

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