摘要：新体制的雷达在现代军事领域中得到越来越多的应用，如何提取这些新体制雷达的细微特征并用这些特征进行识别也成为一个迫切需要解决的问题，文章用Choi-Williams分布对信号进行时频变换，然后基于这些信号时频变换图进行奇异值分解，提取信号特征，设计了根据这些特征进行分类识别的流程图，结合计算机仿真对该识别方法进行了深入的分析，得出该方法具有一定的适用性的结论。

　　关键词：特征提取;识别;奇异值;时频分布

　　1. 引言

　　1966年，物理学家L.Cohen 将所有的具有双线性特性的时频分布用统一的形式来表示(统称为Cohen 类)。对于一个信号的Cohen 类时频分布，它实际上是一个时频域上的二维函数对该信号Wigner-Vile分布(WVD)平滑的结果。这里选择Choi–Williams时频分布是因为它应用了一具有指数形式的核，可以通过控制该核中参数的值，得到信号的CWD最佳分布，并且其中的参数易于调整。具有合适参数的核函数可以使其保留信号自身项同时舍弃交叉项，达到抑制交叉项的目的[1]。

　　本文主要是通过计算信号的Choi–Williams时频分布，得到信号的CWD图像，把信号的时频分布作为一幅图像进行处理，为下面提取该图像的奇异值特征进行分类识别做好准备。

连续时间信号的Choi-Williams分布在文献[2]有如下定义： (1.1) 是一比例因子。CWD中用到了指数核函数，表示频率，它的作用是用作一低通滤波器，由控制衰减。注意，核函数是关于=，轴和轴对称的。因此，它保持了所有的水平和垂直的相干项[3]。

选择小的值可以提供很好的相干项抑制[4]。然而，它同时会引起很大的拖尾响应并导致自相干项的损失。幸运的是，因为用图像处理方法提取特征时，以上的不良影响正是需要的。仿真中，仿真试验时取。

　　2.奇异值分解原理

定理1[5]：若矩阵，则存在正交矩阵 (1.2) (1.3) 使得下式成立 (1.4) 此时。即，该式称为的奇异值()分解。其中为的奇异值，或者的特征值的平方根，即。

若矩阵的由定理1给出，则 ，，表明矩阵的度量特征与矩阵的奇异值密切相关。由此可知，矩阵的F(Frobenius)范数等于该矩阵所有奇异值的平方和，矩阵的2—范数等于该矩阵的最大奇异值。

　　奇异值分解得到的特征具有如下的性质：

1) 稳定性。由于原始图像与它的SV 特征矢量的唯一对应关系，因此可以用特征矢量描述二维图像。当图像的灰度出现不是很剧烈的变化时，其特征矢量是否会出现大的变化。如果不会出现大的变化，称它为稳定的。

定理2：假设，的奇异值分别为，，其中，则。

定理2意味着当矩阵有微小扰动时，奇异值的变换不大于扰动矩阵的2-范数。特征具有良好的稳定性，它对图像噪声等引起的图像灰度变换具有不敏感的特性。

2)转置不变性。如果对图像矩阵作转置运算，特征矢量不发生改变。

　　3)旋转不变性。

定理3：假设，矩阵的奇异值为，。若是酉矩阵，则矩阵的奇异值与矩阵的奇异值相同，即。所以对图像进行旋转变换，特征矢量不会发生改变。

4)位移不变性。即对图像矩阵做行或列的置换运算，特征矢量不发生改变。

正是因为特征具有了上述的性质，保证了其几何不变性，特征能有效地反映矩阵的特征。因此，在雷达信号脉冲调制分类识别中，将截获的雷达信号的时频分布图像的奇异值作为识别特征，是非常有效的。

　　3.特征提取及识别步骤

　　特征提取是对模式所包含的输入信息进行处理和分析，将不易受随机因素干扰的信息作为该模式的特征提取出来，具有提高识别精度、减少运算量和提高运算速度的作用。良好的特征应具有可区分性、稳定性和独立性。可区分性是指不同类别的特征之间有差别，且差别越大越好;稳定性是指同一类别中不同模式的特征应接近，且越接近越好，受随机因素干扰较小;独立性是指选择的各个特征之间应彼此不相关。

　　图像特征可以分为四类：视觉特征、统计特征、变换系数特征和代数特征。其中，代数特征反映了图像的内在属性，是一种本质特征，而奇异值特征是一种性质良好的代数特征。完全可从矩阵的奇异值分解及其性质出发，找到采用奇异值特征描述图像信息特征的依据。

　　基于雷达信号时频分布奇异值分解的特征提取算法具体实现步骤如下：

1)根据公式(1)对信号进行CWD变换，得到信号的时频分布;

2)对进行分解，得到一组奇异值;

3)取标准化后的奇异值矢量的前个值作为特征，得到一特征值矢量;

4)对奇异值矢量进行标准化，得到标准化后的奇异值特征矢量。

　　4.仿真分析及结论

仿真测试数据是利用雷达信号模型产生频率编码信号(FSK)、线性调频(LFM)、13位二相baker编码(BPSK)和四相编码(QPSK)中的常见的P1、P2、P3、P4、Frank码四类信号，并且加入高斯白噪声。这里对雷达信号的处理是在中频段进行的。其参数设置分别为：FSK信号频率，LFM信号频率，BPSK信号频率，QPSK信号频率;采样点数为512，。

　　首先通过计算机仿真可以得到以上各种信号的CWD。横坐标表示时间抽样点，纵坐标表示在相应时间抽样点上的归一化频率。如图1所示：

 

　　(a) 四相Frank编码信号 (b) 四相P1编码信号

 

(c) 四相P2编码信号 (d) 四相P3编码信号

　　(e) 13位Baker编码 (f) 信号四相P4编码信号

 

　　(g) 频率4编码信号 (h) 线性调频信号

　　图1 8类信号的CWD分布仿真图

　　Fig 1 Choi-Williams Distribution of 8 kinds of Signals

　　仿真1：没有噪声情况下，得到SVD 特征。仿真计算结果如表1。

表1 8类信号的特征参数()

Tab 1 SV feature parameters() of 8 kinds of signal 信 号 特 征 Frank P1 P2 P3 P4 Baker FSK LFM 特征1 0.7611 0.7463 0.7464 0.7461 0.7682 0.8301 0.6081 0.4392 特征2 0.4516 0.4673 0.4882 0.4606 0.4703 0.4892 0.5877 0.4261 特征3 0.4024 0.4050 0.3816 0.4182 0.3740 0.2010 0.4883 0.4068 特征4 0.1754 0.1770 0.1722 0.1576 0.1641 0.1269 0.1371 0.3785 特征5 0.0985 0.1078 0.1170 0.1333 0.0980 0.0989 0.1036 0.3403 特征6 0.0828 0.0965 0.0768 0.0829 0.0786 0.0509 0.0854 0.2925 特征7 0.0708 0.0697 0.0759 0.0671 0.0604 0.0370 0.0775 0.2367 特征8 0.0387 0.0432 0.0429 0.0337 0.0337 0.0263 0.0421 0.1803 特征9 0.0261 0.0333 0.0378 0.0288 0.0283 0.0187 0.0369 0.1315 特征10 0.0187 0.0262 0.0251 0.0177 0.0250 0.0159 0.0214 0.0979 表1可以看出，在无噪声条件下，各种调制雷达信号，采用本文所提出的方法所得到的特征向量区别度明显，比如，Baker和FSK对应的特征1值的区别，就比较明显。即在理想条件下，应用本文所提的方法得到的特征值有着比较好的性能。

　　仿真2：不同信噪比情况下SVD 特征的均方根误差变化曲线。利用8类信号数据来提取SVD特征，信噪比由1 dB变化到20 dB，对多个不同信噪比条件下分别做500次仿真，然后针对每一信噪比条件下的数据取算术平均，得到每一信噪比条件下的SVD特征，最后用此特征与没有噪声情况下的SVD 特征计算均方根误差，计算结果如图2所示。

　　(a) Frank信号 (b)P1信号

　　(c)P2信号 (d)P3信号

　　(e)P4信号 (f)BPSK信号

　　(g)FSK信号 (h)LFM信号

　　图2　8类信号时频分布的SV特征均方根误差相对SNR变化的曲线

　　Fig 2 SV Features’ mean-square changing curve relative to SNR changing of 8 kinds

　　of signal’s Time-Frequency distribution

　　从图2可以看出，当信噪比大于5dB时，采用本文所提的方法得到的特征值均方根误差很小，即具有比较好的抗噪能力。而且随着信噪比的提高，均方根误差越来越小。但有的雷达信号随着信噪比的提高，均方根误差下降不是很明显，而且有一定抖动。

　　仿真3：在不同的信噪比环境下，经计算机多次计算图像的奇异值，得到结果并记录进行分析，设计一识别流程，识别过程中的门限设定是根据多次计算并取平均得到的。流程如下图3：

　　图3 应用CWD图像特征识别信号的识别流程

　　Fig 3 Recogniton Flow Chart applying CWD Image Feature to Recognize signals

　　根据以上流程图，应用计算机仿真，信号样品采用以上8类信号，每类信号取500个，信噪比分别为0、5、10dB。得到的信号正确识别率分布图4如下：

　　(a)SNR=0dB时的信号识别率分布

　　(b)SNR=5dB时的信号识别率分布

　　(c)SNR=10dB时的信号识别率分布

　　图4 不同信噪比的信号识别率分布

　　Fig 4 Signal Recogniton Rate Distribution at different SNR

　　结论：本节应用的雷达信号特征提取算法具有较强的抗噪声能力。实验结果表明，雷达信号的时频图像的奇异值具有良好的稳定性，也就是说，对雷达信号信噪比发生一定程度的扰动，奇异值不会出现剧烈的变动。所以奇异值反映了图像的一种代数本质。这种本质不是直观的，而是一种内在的属性。它作为图像特征，同时具备了代数上和几何上的不变性。

　　5.结束语

　　本文把雷达信号通过时频分析变换得到的图像当作一图像矩阵进行处理，对提取特征的有效性进行了简单探索，下一步可以结合实际应用，引入更多的图像处理算法，提取更有效的图像特征。并且在提取特征后，通过计算机仿真验证了设计的识别流程图的可靠性，在信噪比为5dB的情况下，对8类信号的识别率能在70%以上，说明本节内容提出的方法有效，且实用，有一定的实际意义。

　　6. 参考文献

　　< >林春应.电子对抗侦察情报分析(上册)[M].合肥：中国人民解放军电子工程学院.2002：26-33.Choi H L，Williams W J.Improved time-frequency representation of multicomponent signals using exponertial kernels.IEEE Trans.Acoust.Speech.Signal Processing.2004.37(6)：862-871LUNDÉN，Koivunenk.Automatic radar waveform recognition[J].IEEE Journal of selected topics in signal processing.2007.1(1)：124-136周昌华，周涛，夏启兵，等.基于MATLAB的系统分析与设计—时频分析[M].西安：西安电子科技大学出版社，2002：20-21;27-28.罗家洪.矩阵分析与引论(第三版)[M].广州：华南理工大学出版社，2005：133-135.